Question

函數(shù)y=ax²+（2a-1）x-3在區(qū)間[，2]上的最大值是3，則實數(shù)a=________．

Answer 1

1或-
分析：因二次項的系數(shù)是參數(shù)，故分三種情況求解；a=0時，函數(shù)y=-x-3是一次函數(shù)且為減函數(shù)，求出最大值與題意不符故舍去，當a＞0和a＜0時函數(shù)是二次函數(shù)，求出對稱軸再根據(jù)對稱軸與定區(qū)間的位置關系進行二次分類，再由二次函數(shù)的開口方向和對稱軸與定區(qū)間的位置關系求出最大值，注意驗證范圍．
解答：如a=0時，函數(shù)y=-x-3在區(qū)間[，2]上的最大值為，不符合題意，故舍去；
若a＞0，則函數(shù)圖象對稱軸是，
當-1+≤時，即a≥，函數(shù)的最大值是f（2）=a•2²+（2a-1）•2-3=3，解得a=1；
當＜-1+＜2時，即＜a＜，函數(shù)的最大值是f（）=，
解得a=-6，故舍去．
當-1+≥2時，即0＜a≤，函數(shù)的最大值是f（）=，
解得a=-6，故舍去．
若a＜0，-1+＜0，當-1+≥時，即a≤-1，
函數(shù)的最大值是f（-1+）=a（-1+）（-1+）+（2a-1）（-1+）-3=3，
解得4a²+20a+1=0，即a=或a=，故a=；
當-1+＜時，即-1＜a＜0，
函數(shù)的最大值是f（）=，解得a=-6，故舍去．
綜上，a的值為：1或．
點評：本題考查了含有參數(shù)的二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，分類的標準是：二次項的系數(shù)與零關系，根據(jù)對稱軸與定區(qū)間的位置關系；再結合二次函數(shù)的圖象求出對應的最值，注意范圍的驗證．