Question

已知f（x）=x^-k2+k+2（k∈z）滿足f（2）＜f（3）．
①求k及f（x）；
②判斷是否存在q＞0使g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在[-1，2]上的值域為[-4，

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]，若存在求出q；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用,冪函數(shù)圖象及其與指數(shù)的關(guān)系,冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求k及f（x）；
②結(jié)合二次函數(shù)的定義域和值域之間的關(guān)系建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：①∵f（2）＜f（3）．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則-k²+k+2＞0，
即k²-k-2＜0，
解得-1＜k＜2，
∵k∈z，∴k=0，或1，
當(dāng)k=0時，f（x）=x²，
當(dāng)k=1時，f（x）=x²；
②∵f（x）=x²，
∴g（x）=-qx²+（2q-1）x+1，
∵q＞0，∴g（-1）=2-3q＜2，g（2）=-1，
若存在q＞0使g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在[-1，2]上的值域為[-4，

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]，
則必有g(shù)（-1）=2-3q=-4，解得q=2，
此時g（x）=-2x²+3x+1=-2（x-

3

4

）²+

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，
∵x∈[-1，2]，
∴當(dāng)x=

3

4

時，函數(shù)取得最大值

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，
當(dāng)x=-1時，函數(shù)取得最小值-4，此時滿足函數(shù)的值域為[-4，

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]，
故存在q=2，使條件成立．

點評：本題主要考查了冪函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的值域，同時考查了分析問題的能力．