Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：S_n=

1

2

n²+

1

2

n．數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，2b_n-b_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=a_nb_n，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，證明：1≤T_n＜4．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a_n與s_n的關(guān)系求得a_n，由等比數(shù)列的定義求得b_n；
（Ⅱ）利用錯位相減法求得T_n，進行放縮即得結(jié)論成立．

解答： 解：（Ⅰ）當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=n；當n=1時，求得a₁=S₁=1．
所以a_n=n．
因為

bn

bn-1

=

1

2

且b₁=1，
所以bn=(

1

2

)n-1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知cn=n•(

1

2

)n-1．
所以Tn=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+n•(

1

2

)n-1，

1

2

Tn=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，
于是

1

2

Tn=1+(

1

2

)1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n，
化簡，得Tn=4-

2n+4

2n

．
因為

2n+4

2n

＞0，所以T_n＜4．
又因為Tn+1-Tn=

n+1

2n

＞0，所以T_n＞T_n-1＞…＞T₁=1．
綜上，1≤Tn＜4．…（12分）

點評：本題主要考查了數(shù)列通項公式及數(shù)列求和的方法，屬常規(guī)題目，屬中檔題．