Question

已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，判斷 f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性并給以證明．

Answer 1

解：f（x）是（-∞，0）上的單調(diào)遞減函數(shù)．
證明如下：設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則有-x₁＞-x₂＞0…（4分）
∵f（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)∴f（-x₁）＜f（-x₂）…（7分）
又∵f（x）為R上的奇函數(shù)∴-f（x₁）＜-f（x₂），即f（x₁）＞f（x₂）．…（10分）
故f（x）是（-∞，0）上的單調(diào)遞減函數(shù)…．．（12分）
分析：設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則有-x₁＞-x₂＞0，然后根據(jù)奇函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，建立不等關(guān)系，化簡即可得到f（x₁）＞f（x₂），從而得到函數(shù)的單調(diào)性．
點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．