Question

16．已知雙曲線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{36}$=1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{15}$，4）．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M（1，0）作斜率為1的直線雙曲線于A，B兩點(diǎn)，求AB．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中雙曲線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{36}$=1有相同焦點(diǎn)，可以設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（含參數(shù)a），然后根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn) （$\sqrt{15}$，4）．得到一個(gè)關(guān)于a的方程，解方程，即可得到a²的值，進(jìn)而得到雙曲線的方程．
（2）寫出直線方程，然后與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式即可．

解答 解：（1）橢圓$\frac{{x}^{2}}{27}+\frac{{y}^{2}}{36}$=1的焦點(diǎn)為（0，±3），即c=3，
設(shè)雙曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{9-a}^{2}}=1$．
雙曲線過(guò)點(diǎn)（$\sqrt{15}$，4）．
則 $\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{15}{{9-a}^{2}}=1$，
得a²=4或a²=36，而a²＜9，
∴a²=4，雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=1$．
（2）過(guò)點(diǎn)M（1，0）作斜率為1的直線方程為y=x-1，
與雙曲線方程$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=1$聯(lián)立消去y可得：5（x-1）²-4x²=20．
即x²-10x-15=0，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為：（x₁，y₁）（x₂，y₂）．
可得x₁+x₂=10，x₁•x₂=-15．
|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{{10}^{2}+60}$=8$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中根據(jù)已知條件設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（含參數(shù)a），并構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的方程，是解答本題的關(guān)鍵．考查弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．