Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（tan（α+$\frac{1}{4}$β），-1），向量$\overrightarrow$=（cosα，2），若0＜α＜$\frac{π}{4}$，β為f（x）=cos（2x+$\frac{π}{8}$）的最小正周期，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，則$\frac{2co{s}^{2}α+sin（β-2α）}{sin（\frac{π}{2}-α）-cos（\frac{3π}{2}+α）}$=（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得cosα•tan（α+$\frac{π}{4}$）=4．再利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正切公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，化簡(jiǎn)要求的式子，可得結(jié)果．

解答 解：由題意可得β=$\frac{2π}{2}$=π，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosα•tan（α+$\frac{π}{4}$）-2=2，∴cosα•tan（α+$\frac{π}{4}$）=4，
則$\frac{2co{s}^{2}α+sin（β-2α）}{sin（\frac{π}{2}-α）-cos（\frac{3π}{2}+α）}$=$\frac{{2cos}^{2}α+sin2α}{cosα-sinα}$=$\frac{2cosα（cosα+sinα）}{cosα-sinα}$=2cosα•$\frac{1+tanπ}{1-tanα}$=2cosα•tan（α+$\frac{π}{4}$）=2×4=8，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式、誘導(dǎo)公式、兩角和的正切公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．