Question

一個斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長為5，若側(cè)棱AA₁和底面三角形的相鄰兩邊都成45°角，求這個三棱柱的體積.

 

Answer 1

解析:過點A₁作A₁O⊥面ABC于O，則O落在△ABC內(nèi)，再過O點分別作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連結(jié)A₁E、A₁F，則A₁E⊥AE，

∴△AA₁E為直角三角形.

∵∠A₁AE=45°，AA₁=5，

∴AE=A₁E=.同理,A₁F=.

∴A₁E=A₁F.

∴OE=OF.

∴AO是∠BAC的平分線.由△ABC是正三角形知∠EAO=30°.

在Rt△AOE中，AO=，

∴A₁O=.

∴斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的體積是V_三棱柱=×4²×.

小結(jié)：本題由于易求棱柱的底面面積，所以求其體積就是求高A₁O.因為AA₁與AB、AC所成角相等，所以A₁的射影一定在∠BAC的平分線上，從而得出∠EAO=30°.然后再根據(jù)AE的值求得AO，由Rt△A₁AO求得高A₁O.最后求出棱柱的體積.