Question

已知△ABC中，|

AC

|=10，|

AD

|=5，

AD

=

5

11

DB

，

CD

•

AB

=0．
（1）求|

AB

-

AC

|；
（2）設∠BAC=θ，且已知cos(θ+x)=

4

5

，-

π

2

＜x＜0，求sinx．

Answer 1

分析：（1）先由已知

AD

=

5

11

DB

，得到|

DB

|=11再根據向量的數量積為0

CD

•

AB

=0得到CD⊥AB最后利用直角三角形：在Rt△BCD中，求得BC的長度即可；
（2）先在△ABC中，cos∠BAC=

1

2

，得到θ=

π

3

從而cos(θ+x)=cos(

π

3

+x)=

4

5

，sin(

π

3

+x)=±

3

5

利用角的限制條件得出sin(

π

3

+x)=

3

5

，最后結合三角變換公式即可求得sinx．

解答：解：（1）由已知

AD

=

5

11

DB

，即

DB

=

11

5

AD

，
∵|

AD

 |=5，∴|

DB

|=11，（2分）
∵

CD

•

AB

=0，∴CD⊥AB，（3分）
在Rt△BCD中，BC²=BD²+CD²，
又CD²=AC²-AD²，∴BC²=BD²+AC²-AD²=196，（5分）
∴|

AB

-

AC

=|

BC

|=14．（6分）
（2）在△ABC中，cos∠BAC=

1

2

，∴θ=

π

3

．（7分）
即cos(θ+x)=cos(

π

3

+x)=

4

5

，sin(

π

3

+x)=±

3

5

，（9分）
而-

π

2

＜x＜0，-

π

6

＜

π

3

+x＜

π

3

，（10分）
則-

1

2

=sin(-

π

6

)＜sin(

π

3

+x)＜sin

π

3

=

3

2

，（12分）
∴sin(

π

3

+x)=

3

5

，∴sinx=sin[(

π

3

+x)-

π

3

]=

3-4 3

10

．（14分）

點評：本題主要考查了三角函數的恒等變換及化簡求值，解答的關鍵是靈活應用三角變換的公式進行轉換．