如圖,M(a,0)(a>0)是拋物線y2=4x對稱軸上一點,過M作拋物線的弦AMB,交拋物線與A,B.
(1)若a=2,求弦AB中點的軌跡方程;
(2)過M作拋物線的另一條割線CMD(如圖),與拋物線交于CD,若AD與y軸交與點E,連ME,BC,求證:ME∥BC.
分析:(1)當(dāng)AB斜率存在時,由a=2,設(shè)其方程為y=k(x-2),聯(lián)立方程后,結(jié)合韋達(dá)定理及中點公式,可得弦AB中點的軌跡方程;當(dāng)AB斜率不存在時,其方程為x=2,與拋物線相交,中點為(2,0),最后綜合分類討論的結(jié)果,可得答案.
(2)用兩點式求得AB的方程為:y(t2-t1)+2t1t2=2x,CD的方程為:y(t4-t3)+2t3t4=2x,由AB,CD都經(jīng)過點M,故t1t2=t3t4=a,進(jìn)而求得kME=kBC,根據(jù)直線平行的充要條件得到ME∥BC.
解答:解:(1)當(dāng)AB斜率存在時,由a=2,
設(shè)AB方程為:y=k(x-2),弦AB中點為(x0,y0
y2=4x
y=k(x-2)
得k2x2-4(k2+1)x+4k2=0
△=16(k2+1)2-16k4=32k2+16>0
x0=
x1+x2
2
=
2k2+2
k2
=2+
2
k2
y0=
y1+y2
2
=
1
2
(kx1-2k+kx2-2k)=
2
k

消去k得y02=2x0-4(x0>2)
當(dāng)AB斜率不存在時,其方程為x=2,
與拋物線相交,中點為(2,0),
滿足y02=2x0-4.
綜上所述,弦AB中點的軌跡方程y2=2x-4.          
(2)證明:設(shè)A(t12,2t1),B(t22,2t2),C(t32,-2t3),D(t42,-2t4),
其中t1,t2,t3,t4均為正數(shù),
用兩點式求得AB的方程為:y(t2-t1)+2t1t2=2x 
CD的方程為:y(t4-t3)+2t3t4=2x
AB,CD都經(jīng)過點M,故t1t2=t3t4=a,
AD的方程為:y(t4-t1)+2t1t4=2x
AD與y軸交點為E(0,
2t1t4
t1-t4
)          
kME=
2t1t4
a(t4-t1)

而kBC=
2t2+2t3
t22-t32
=
2
t2-t3
=
2
a
t1
-
a
t4
=
2t1t4
a(t4-t1)

∴kME=kBC,
∴ME∥BC.
點評:本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用,雙曲線的簡單性質(zhì),聯(lián)立方程,設(shè)而不求,韋達(dá)定理,是解答此類問題的三架馬車.
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