【題目】已知x∈R,[x]表示不超過x的最大整數(shù),若函數(shù) 有且僅有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】
【解析】解:由 =2a, ①若x>0,設g(x)= ,
則當0<x<1,[x]=0,此時g(x)=0,
當1≤x<2,[x]=1,此時g(x)= ,此時 <g(x)≤1,
當2≤x<3,[x]=2,此時g(x)= ,此時 <g(x)≤1,
當3≤x<4,[x]=3,此時g(x)= ,此時 <g(x)≤1,
當4≤x<5,[x]=4,此時g(x)= ,此時 <g(x)≤1,
作出函數(shù)g(x)的圖象,
要使 有且僅有三個零點,
即函數(shù)g(x)=2a有且僅有三個零點,
則由圖象可知 <a≤
②若x<0,設g(x)= ,
則當﹣1≤x<0,[x]=﹣1,此時g(x)=﹣ ,此時g(x)≥1,
當﹣2≤x<﹣1,[x]=﹣2,此時g(x)=﹣ ,此時1≤g(x)<2,
當﹣3≤x<﹣2,[x]=﹣3,此時g(x)=﹣ ,此時1≤g(x)< ,
當﹣4≤x<﹣3,[x]=﹣4,此時g(x)=﹣ ,此時1≤g(x)< ,
當﹣5≤x<﹣4,[x]=﹣5,此時g(x)=﹣ ,此時1≤g(x)< ,
作出函數(shù)g(x)的圖象,
要使 有且僅有三個零點,
即函數(shù)g(x)=2a有且僅有三個零點,
則由圖象可知 ≤a< ,
綜上: <a≤ ≤a< ,
所以答案是:

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系的相關(guān)知識,掌握二次函數(shù)的零點:(1)△>0,方程 有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與 軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點;(2)△=0,方程 有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與 軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;(3)△<0,方程 無實根,二次函數(shù)的圖象與 軸無交點,二次函數(shù)無零點.

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