Question

14．如圖所示幾何體為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱錐B₁-A₁BC₁后所得，點M為A₁C₁的中點．
（1）求證：CM∥平面A₁BD；
（2）求二面角B-DM-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明CM∥平面A₁BD；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-DM-C的余弦值．

解答 證明：（1）連接AC交BD于O，連接CM，OA₁，
則O是AC的中點，
則∵M為A₁C₁的中點，
∴A₁M∥OC，且A₁M=OC，
即四邊形OCMA₁是平行四邊形，
則CM∥OA₁，
∵CM?平面A₁BD，OA₁?平面A₁BD；
∴CM∥平面A₁BD；
（2）建立以D為原點，DA，DC，DD₁為坐標軸的坐標系如圖；
設正方體的棱長為1，
則B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），C₁（0，1，1，），
則M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
則$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DM}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
設平面BDM的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，
令y=2，則x=-2，z=0，
即$\overrightarrow{m}$=（-2，2，0），
設平面BDC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=y=0}\end{array}\right.$，
令x=-2，則z=1，
即$\overrightarrow{n}$=（-2，0，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即二面角B-DM-C的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本小題主要考查立體幾何的相關知識，具體涉及到線面平行的判定、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應用．本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求．