Question

3．如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)，求證：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

分析 可取B₁C₁中點(diǎn)E，并且連接A₁E，CE，ED，則容易說明四邊形B₁ECD為平行四邊形，從而得到EC∥B₁D，這樣便根據(jù)線面平行的判定定理得出EC∥平面AB₁D，而同理可說明A₁E∥平面AB₁D，這樣便可得出平面A₁EC∥平面AB₁D，從而得出A₁C∥平面AB₁D．

解答 證明：如圖，取B₁C₁中點(diǎn)E，連接A₁E，CE，ED；
D為BC的中點(diǎn)，E為B₁C₁中點(diǎn)；
∴B₁E=DC，且B₁E∥BC；
∴四邊形B₁ECD為平行四邊形；
∴EC∥B₁D，B₁D?平面AB₁D，EC?平面AB₁D；
∴EC∥平面AB₁D；
同理，四邊形EDAA₁為平行四邊形；
∴A₁E∥AD；
∴A₁E∥平面AB₁D；
又A₁E∩EC=E；
∴平面A₁EC∥平面AB₁D；
又A₁C?平面A₁EC；
∴A₁C∥平面AB₁D．

點(diǎn)評 考查平行四邊形的定義，三棱柱的側(cè)面為平行四邊形，線面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，面面平行的性質(zhì)．