Question

設(shè)函數(shù)fn(x)=-2n+

2

x

+

22

x2

+…+

2n

xn

．
（1）求函數(shù)f₂（x）在

1，2

上的值域；
（2）證明對(duì)于每一個(gè)n∈N^*，在

1，2

上存在唯一的x_n，使得f_n（x_n）=0；
（3）求f₁（a）+f₂（a）+…+f_n（a）的值．

Answer 1

分析：（1）利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)f₂（x）在

1，2

上的值域；
（2）證明fn(x)=-2n+

2

x

+

22

x2

+…+

2n

xn

，在x∈

1，2

上單調(diào)遞減，再證明f_n（2）＜0，即可得到結(jié)論；
（3）fm(a)=-2m+

2

a

+

22

a2

+…+

2m

am

，對(duì)a討論，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求f₁（a）+f₂（a）+…+f_n（a）的值．

解答：（1）解：f2(x)=-4+

2

x

+

4

x2

，
由x∈

1，2

，令t=

1

x

∈

1 2 ，1

，則y=4t²+2t-4．
對(duì)稱(chēng)軸t=-

1

4

，∴y=4t²+2t-4在

1 2 ，1

上單調(diào)遞增，∴f₂（x）在

1，2

上的值域?yàn)?span id="buieyyr" class="MathJye">

-2．2

．…（4分）
（2）證明：∵對(duì)于1≤x₁＜x₂≤2，m∈N^*有1≤

x

m 1

＜

x

m 2

，

1

x m 2

＜

1

x m 1

，從而

2m

x m 2

＜

2m

x m 1

，∴y=

2m

xm

，m∈N^*，在x∈

1，2

上單調(diào)遞減，
∴fn(x)=-2n+

2

x

+

22

x2

+…+

2n

xn

，在x∈

1，2

上單調(diào)遞減．
又fn(1)=-2n+2+22+…+2n=2n-2≥0，fn(2)=-2n+n．…（7分）
當(dāng)n≥2時(shí)，fn(2)=-2n+n=-(1+1)n+n=-

C

0 n

-

C

1 n

-

C

2 n

-…-

C

n n

+n＜0，
又f₁（2）=-2+1=-1＜0，即對(duì)于任意自然數(shù)n有fn(2)=-2n+n＜0，
∴對(duì)于每一個(gè)n∈N^*，存在唯一的xn∈

1，2

，使得f_n（x_n）=0…（11分）
（3）解：fm(a)=-2m+

2

a

+

22

a2

+…+

2m

am

．
當(dāng)a=2時(shí)，fm(a)=-2m+m，∴f1(a)+f2(a)+…+fn(a)=-2n+1+

n(n+1)

2

+2．…（14分）
當(dāng)a≠2且a≠0時(shí)，fm(a)=-2m+

2

a

+

22

a2

+…+

2m

am

=-2m+

2 a [1-( 2 a )m]

1- 2 a

．
∴f1(a)+f2(a)+…+fn(a)=-2n+1+2+

2n

a-2

-

4

(a-2)2

+

2n+2

(a-2)2an

…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域，考查數(shù)列知識(shí)的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的求和公式，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于中檔題．