Question

1．求函數$f（x）=\sqrt{{x^2}-2x+2}+\sqrt{{x^2}-4x+8}$的最小值為$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 把兩個根號里進行變形，那么f（x）可看作為點C到點A和點B距離之和，利用對稱得到最小值即可．

解答 解：函數$f（x）=\sqrt{{x^2}-2x+2}+\sqrt{{x^2}-4x+8}$
=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+4}$
=$\sqrt{（x-1）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-2）^{2}}$，
可看作點C（x，0）到點A（1，1）和點B（2，2）的距離之和，
作點A（1，1）關于x軸對稱的點A′（1，-1），
∴f（x）_min=|A'B|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
故答案為：$\sqrt{10}$．

點評 本題考查學生會利用兩點間的距離公式求值，會利用對稱得到距離之和最�。畬W生做題時注意數形結合解決問題．