Question

5．已知a+b=-cotθ，ab=-$\frac{1}{sinθ}$（a≠b），
（1）求過兩點（a，a²），（b，b²）的直線方程（可含θ但不含a，b）；
（2）對一切有意義的θ的值，是否存在一個定點P（x₀，y₀），使P到所有過（a，a²），（b，b²）的直線等距離？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出直線的斜率，中點坐標，再用點斜式得出直線方程；
（2）求出P（x₀，y₀）到直線AB的距離，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）假設(shè)A（a，a²），B（b，b²），則AB的中點為M（$\frac{1}{2}$（a+b），$\frac{1}{2}$（a²+b²）） 
∵a+b=-cotθ，ab=-cscθ，∴k_AB=（a²-b²）÷（a-b）=a+b=-cotθ，
∵a²+b²=（a+b）²-2ab=cot²θ+2cscθ，
∴M（-$\frac{1}{2}$cotθ，$\frac{1}{2}$cot²θ+cscθ） 
直線AB的方程為y=-cotθ（x+$\frac{1}{2}$cotθ）+$\frac{1}{2}$cot²θ+cscθ 
即：y=-cotθx+cscθ，；
（2）P（x₀，y₀）到直線AB的距離為 
d=$\frac{|{x}_{0}cotθ+{y}_{0}-cscθ|}{\sqrt{1+co{t}^{2}θ}}$=$\frac{|{x}_{0}cotθ+{y}_{0}-cscθ|}{|cscθ|}$
當x₀=y₀=0時，d=1，∴P點坐標為（0，0）

點評 本題考查直線方程，考查點到直線的距離公式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．