Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（sin2x，1-cos2x），

c

=（0，1），x∈（0，π）．
（1）向量

a

，

b

是否共線(xiàn)？證明你的結(jié)論；
（2）若函數(shù)f（x）=|

b

|-（

a

+

b

）•

c

，求f（x）的最大值，并指出取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的兩個(gè)向量的坐標(biāo)，利用向量共線(xiàn)的充要條件進(jìn)行驗(yàn)證，得到cosx（1-cos2x）-sinxsin2x=cosx-cosx=0，即向量

a

，

b

是共線(xiàn)
（2）根據(jù)所給的向量的坐標(biāo)表示出要用的函數(shù)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的恒等變形整理出最簡(jiǎn)形式，得到函數(shù)的最大值和最大值對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）向量

a

，

b

是共線(xiàn)的．…（2分）
∵cosx（1-cos2x）-sinxsin2x=cosx-cosx=0，
∴向量

a

，

b

是共線(xiàn)．…（6分）
（2）f（x）=|

b

|-（

a

+

b

）•

c

=2sinx-（sinx+2sin²x）=-2(sinx-

1

4

)2+

1

8

∴f（x）的最大值為

1

8

，…（11分）
此時(shí)x=arcsin

1

4

或π-arcsin

1

4

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，本題解題的關(guān)鍵是把三角函數(shù)進(jìn)行恒等變形，整理出可以用來(lái)求最值的形式，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．