Question

已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足f(

1

2

)=1，且對(duì)任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)．
（Ⅰ）判斷f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并加以證明．
（Ⅱ）令x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

，求數(shù)列{f（x_n）}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）設(shè)T_n為{

2n-1

f(xn)

}的前n項(xiàng)和，若Tn＜

6-3m

2

對(duì)n∈N^*恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用條件對(duì)任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，進(jìn)行賦值，借助于奇偶函數(shù)的定義，可得結(jié)論；
（Ⅱ）首先判斷0＜x_n＜1，再證明{f（x_n）}是1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即可數(shù)列{f（x_n）}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）先求得Tn=2(

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

)，再用錯(cuò)位相減法求和，進(jìn)而將Tn＜

6-3m

2

對(duì)n∈N^*恒成立，轉(zhuǎn)化為

6-3m

2

≥6，由此可求m的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵對(duì)任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)…①
∴令x=y=0得f（0）=0；（1分）
令x=0由①得f（-y）=-f（y），
用x替換上式中的y有f（-x）=-f（x）（2分）
∴f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．（3分）
（Ⅱ）{f（x_n）}滿足x1=

1

2

＜1，則必有xn+1=

2xn

1+ x 2 n

＜

2xn

2xn

=1
否則若x_n+1=1則必有x_n=1，依此類推必有x₁=1，矛盾
∴0＜x_n＜1（5分）
∴f(xn+1)=f(

2xn

1+ x 2 n

)=f(

xn-(-xn)

1-xn•(-xn)

)=f（x_n）-f（-x_n）=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n）
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2，
又f(x1)=f(

1

2

)=1
∴{f（x_n）}是1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，（7分）
∴f(xn)=2n-1（8分）
（Ⅲ）

2n-1

f(xn)

=

2n-1

2n-1

=2×

2n-1

2n

（9分）
故Tn=2(

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

)…②

1

2

Tn=2×(

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

)…③
②-③得

1

2

Tn=2×(

1

2

+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

)=3-

2n+3

2n

（11分）
∴Tn=6-

2n+3

2n-1

＜6（12分）
∴若Tn＜

6-3m

2

對(duì)n∈N^*恒成立，則須

6-3m

2

≥6，解得m≤2（13分）
∴m的最大值為2．　　　　　　　（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查等比數(shù)列的證明與通項(xiàng)的求解，考查錯(cuò)位相減法求和，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是賦值法的運(yùn)用．