Question

已知f（x）定義域為R，滿足：
①f（1）=1＞f（-1）；
②對任意實數x，y，有f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）．
（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；
（Ⅱ）求

1

2

f(1-6x)+f2(3x)的值；
（Ⅲ）是否存在常數A，B，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2對一切實數x成立．如果存在，求出常數A，B的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）取x=y=1，利用f（1）=1，求出f（0）=0；取x=y=0，求出f（-1）=-1；再取x=0，y=2，可求f（3）=-1．
（Ⅱ）在f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）中，取y=1得f（2-x）=f（x）；取y=x，得f²（x）+f²（x-1）=1；取x=0，得f（-2）=0；取y=-1，f（-x）=-f（x）；取y=-x，得f（1-2x）=1-2f²（x），所以，

1

2

f(1-2x)+f2(x)=

1

2

對任意實數x均成立．
（Ⅲ）將一致的不等式進行等價轉化為?|2f（x）+Ax+B|≤2，令x分別等于1、-1、3，可得A、B的值，再由（Ⅱ）知：f（x）|≤1對一切實數x成立，故當A=B=0時，|2f（x）+Ax+B|≤2對一切實數x成立．從而得到結論．

解答：解：（Ⅰ）取x=y=1，得f（1-1+1）=f（1）•f（1）+f（1-1）•f（1-1），
即f（1）=f²（1）+f²（0）．
因為f（1）=1，所以f（0）=0．（1分）
取x=y=0，得1=f（1）=f²（-1）．因為f（1）=1＞f（-1），
所以f（-1）=-1．
取x=0，y=2，得f（3）=f（0）•f（2）+f（-1）•f（1），
所以f（3）=-1；（3分）
（Ⅱ）在f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）
中取y=1得f（2-x）=f（x）．
所以f（1+x）=f（1-x）．
在f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）中取y=x，
得f²（x）+f²（x-1）=1．
在f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）中取x=0，
得f（y+1）=f（0）f（y）+f（-1）f（y-1）=-f（y-1）．
所以f（-2）=0．
在f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）中取y=-1，
得f（-x）=f（x）f（-1）+f（x-1）f（-2）．
所以f（-x）=-f（x）．
在f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）中取y=-x，
得f（1-2x）=f（x）f（-x）+f（x-1）f（-x-1）
=-f²（x）-f（x-1）f（x+1）
=-f²（x）-f（x-1）f（1-x）
=-f²（x）+f²（x-1）=1-2f²（x）．
所以

1

2

f(1-2x)+f2(x)=

1

2

對任意實數x均成立．
所以

1

2

f(1-6x)+f2(3x)=

1

2

．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（2-x）=f（x），
∴|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2?|2f（x）+Ax+B|≤2，
在|2f（x）+Ax+B|≤2中，
取x=-1，得-2≤-2-A+B≤2，即-2≤2+A-B≤2①
取x=1，得-2≤2+A+B≤2②
取x=3，得-2≤-2+3A+B≤2，即-2≤2-3A-B≤2③
②+①得A≤0，②+③得A≥0．∴A=0．
將A=0代入①得B≥0．
將A=0代入②得B≤0．∴B=0．
由（Ⅱ）知f²（x）+f²（x-1）=1，所以|f（x）|≤1對一切實數x成立．
故當A=B=0時，|2f（x）+Ax+B|≤2對一切實數x成立．
∴存在常數A=B=0，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2對一切實數x成立，
且A=B=0為滿足題設的唯一一組值．（14分）

點評：本題考查抽象函數的性質及應用，體現等價轉化的數學思想．