Question

在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求2sin²A+cos（A-C）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列與正弦定理可求得cosB=

1

2

，利用B∈（0，π），可求得B=

π

3

；
（Ⅱ）依題意，可求得

π

6

＜A＜

π

2

，利用二倍角的余弦與兩角差的余弦及正弦函數(shù)的單調性即可求得2sin²A+cos（A-C）的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，
∴2bcosB=acosC+ccosA，
∴由正弦定理得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），又A+B+C=π，
∴2sinBcosB=sin（π-B）=sinB，sinB＞0，
∴cosB=

1

2

，B∈（0，π），
∴B=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，
∴C=

2π

3

-A，
又△ABC為銳角三角形，
∴0＜C=

2π

3

-A＜

π

2

，0＜A＜

π

2

，
解得

π

6

＜A＜

π

2

．
∴2sin²A+cos（A-C）
=1-cos2A+cos（2A-

2π

3

）
=1-cos2A-

1

2

cos2A+

3

2

sin2A
=

3

2

sin2A-

3

2

cos2A+1
=

3

sin（2A-

π

3

）+1，
∵

π

6

＜A＜

π

2

，
∴0＜2A-

π

3

＜

2π

3

，
∴0＜sin（2A-

π

3

）≤1，
∴1＜

3

sin（2A-

π

3

）+1≤

3

+1，
∴2sin²A+cos（A-C）的取值范圍為（1，

3

+1]．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，著重考查二倍角的余弦與兩角差的余弦及正弦函數(shù)的單調性，屬于中檔題．