Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+4x-6．
（Ⅰ）若f（x）在x=-2處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）命題p：“?x∈R，x²-kx+1＞0”，命題q：“?x∈[1，2]，f（x）-ax²＜k”，若命題“p∧q”是真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：（I）f′（x）=3x²+2ax+4，由于f（x）在x=-2處取得極值，可得f′（-2）=0，解得a并驗(yàn)證即可．
（II）命題p：“?x∈R，x²-kx+1＞0”，可得△＜0．命題q：“?x∈[1，2]，f（x）-ax²＜k”，設(shè)g（x）=f（x）-ax²=x³+4x-6，x∈[1，2]．因此命題q?g（x）_min＜k，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．再利用命題“p∧q”是真命題，即可得出．

解答： 解：（I）f′（x）=3x²+2ax+4，
∵f（x）在x=-2處取得極值，
∴f′（-2）=12-4a+4=0，解得a=4．
∴f′（x）=3x²-8a+4，
經(jīng)過(guò)驗(yàn)證滿足條件．
∴a=4．
（II）命題p：“?x∈R，x²-kx+1＞0”，∴△=k²-4＜0，解得-2＜k＜2．
命題q：“?x∈[1，2]，f（x）-ax²＜k”，
設(shè)g（x）=f（x）-ax²=x³+4x-6，x∈[1，2]．
g′（x）=3x²+4＞0，
∴函數(shù)g（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值，g（1）=-1．
∴k＞-1．
∵命題“p∧q”是真命題，
∴

-2＜k＜2 k＞-1

，解得-1＜k＜2．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、簡(jiǎn)易邏輯的判定、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．