Question

已知函數(shù)g（x）=e^x（e=2.718…）的圖象如圖所示．
（Ⅰ）在所給坐標(biāo)系中畫(huà)出φ（x）=（e-1）x+1的圖象；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所做的圖象，比較g（0.9）與φ（0.9）的大��；
（Ⅲ）若f（x）=lnx+2x-6只在區(qū)間（2，3）內(nèi)有意義且連續(xù)，判斷f（x）=lnx+2x-6在區(qū)間（2，3）內(nèi)存在零點(diǎn)c，并找出零點(diǎn)c的近似值x₀所在的一個(gè)區(qū)間，使得|x₀-c|＜0.1．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),二分法求方程的近似解

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由φ（x）的解析式化簡(jiǎn)φ（x）的圖象；
（Ⅱ）作直線x=0.9分別交g（x）和φ（x）與A、B兩點(diǎn)，由圖象即可判斷出g（0.9）與φ（0.9）的大��；
（Ⅲ）先求出f（2.5）和f（e）的值并判斷出符號(hào)，由函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理得：f（x）在區(qū)間（2.5，e）內(nèi)存在零點(diǎn)c，即f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)存在零點(diǎn)c，由g（0.9）＜φ（0.9）得e^0.9＜2.6，再得f（2.6）＞0，
將零點(diǎn)所在的區(qū)間進(jìn)一步縮小為（2.5，2.6），即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，
φ（x）=（e-1）x+1的圖象是一條過(guò)（0，1）和（1，e）的直線；


（Ⅱ）如圖：作直線x=0.9分別交g（x）和φ（x）與A、B兩點(diǎn)，
因?yàn)锽在A點(diǎn)的上方，所以g（0.9）＜φ（0.9）；
（Ⅲ）因?yàn)閒（x）在區(qū)間（2，3）上連續(xù)，所以在區(qū)間[2.5，e]上也連續(xù)，
∵f（2.5）=ln2.5+5-6=ln2.5-1＜lne-1=0，
f（e）=lne+2e-6＞1+2×2.7-6=0.4＞0，
∴f（2.5）f（e）＜0，
所以f（x）在區(qū)間（2.5，e）內(nèi)存在零點(diǎn)c，
即f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)存在零點(diǎn)c，
∵φ（0.9）=（e-1）×0.9+1=0.9e+0.1＜0.9×2.72+0.1=2.548＜2.6，
又g（0.9）＜φ（0.9），則e^0.9＜2.6，所以0.9＜ln2.6，
∵f（2.6）=ln2.6+2-6=ln2.6-0.8＞0.9-0.8=0.1＞0，
∴f（2.5）f（2.6）＜0，所以零點(diǎn)c∈（2.5，2.6），
若取零點(diǎn)c的近似值x₀所在的一個(gè)區(qū)間為（2.5，2.6），
則|x₀-c|＜|2.6-2.5|=0.1，
所以零點(diǎn)c的近似值x₀可取區(qū)間為（2.5，2.6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一次函數(shù)的圖象，函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理，數(shù)形結(jié)合思想思想，考查計(jì)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．