Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DA⊥平面PAC；
（Ⅱ）試在線段PD上確定一點(diǎn)G，使CG∥平面PAF，并求三棱錐A-CDG的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）平行四邊形ABCD中，證出AC⊥DA．結(jié)合PA⊥平面ABCD，得PA⊥DA，由線面垂直的判定定理，可得DA⊥平面PAC．
（Ⅱ）設(shè)PD的中點(diǎn)為G，在平面PAD內(nèi)作GH⊥PA于H，連接FH，可證出四邊形FCGH為平行四邊形，得GC∥FH，所以CG∥平面PAF．設(shè)點(diǎn)G到平面ABCD的距離為d，得d=，結(jié)合Rt△ACD面積和錐體體積公式，可算出三棱錐A-CDG的體積．
解答：解：（Ⅰ）∵四邊形是平行四邊形，
∴AD∥BC，可得∠ACB=∠DAC=90°，即AC⊥DA
∵PA⊥平面ABCD，DA⊆平面ABCD，∴PA⊥DA，
又∵AC⊥DA，AC∩PA=A，∴DA⊥平面PAC．
（Ⅱ）設(shè)PD的中點(diǎn)為G，在平面PAD內(nèi)作GH⊥PA于H，連接FH，
則△PAD中，GH平行且等于
∵平行四邊形ABCD中，F(xiàn)C平行且等于，
∴GH∥FC且GH=FC，四邊形FCGH為平行四邊形，得GC∥FH，
∵FH?平面PAF，CG?平面PAF，
∴CG∥平面PAF，即G為PD中點(diǎn)時(shí)，CG∥平面PAF．
設(shè)點(diǎn)G到平面ABCD的距離為d，則
由G為PD中點(diǎn)且PA⊥平面ABCD，得d=，
又∵Rt△ACD面積為×1×1=
∴三棱錐A-CDG的體積V_A-CDG=V_G-CDA=S_△ACD×=．
點(diǎn)評：本題給出四棱錐，求證線面垂直并求錐體的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．