Question

已知函數(shù)f（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，g（x）=．
（Ⅰ）判定f（x）在（0，1]上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求g（x）在（0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若?n∈N^*，（n+a）ln（1+）≤1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，（x＞-1）．
∴f^′（x）=ln²（x+1）+2ln（x+1）-2x．
令h（x）=ln²（x+1）+2ln（x+1）-2x，
則h^′（x）=．
設(shè)u（x）=ln（x+1）-x，x∈（0，1]，
則，
∴u（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，∴u（x）＜u（0）=0．
∴，
∴h（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，∴h（x）＜h（0）=0，
∴f^′（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，∴f^′（x）＜f^′（0）=0，
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（1）≤f（x）＜f（0）=0，即f（x）=（1+x）ln²（x+1）-x²，
∴=，
∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，于是g（1）≤g（x）＜g（0），
∴g（x）在（0，1]上的最小值為g（1）=．
（Ⅲ）∵?n∈N^*，，
∴，
令Φ（n）=，∈（0，1]，
則Φ（x）=，x∈（0，1]．
由（Ⅱ）可知：Φ（x）在（0，1]上的最小值為，
故Φ（n）的最小值為．
∴a的取值范圍為．
分析：（Ⅰ）利用多次求導(dǎo)即可得出；
（Ⅱ）通過(guò)求導(dǎo)，再利用（Ⅰ）的結(jié)論即可求出；
（Ⅲ）變形后利用（Ⅱ）的結(jié)論即可．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值是解題的關(guān)鍵．