Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n＞0，

an

-

an+1

=2

an•an+1

（n∈N^*），設(shè)b_n=

1

an

（n∈N^*），
（1）求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求b_n；
（2）設(shè)T_n=

1

an+1•bn+1

+

1

an+2•bn+2

+…+

1

a2n•b2n

，且T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n和c_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n＞0，

an

-

an+1

=2

an•an+1

（n∈N^*），可得

1

an+1

-

1

an

=2．而b_n=

1

an

（n∈N^*），可得b_n+1-b_n=2，即可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，利用通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=

1

b 2 n

=

1

(2n-1)2

．可得

1

an•bn

=2n-1．
利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出T_n=（2n+1）+（2n+3）+…+（4n-1）=3n²．再利用當(dāng)n=1時(shí)，c₁=T₁．當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=T_n-T_n-1即可得出c_n．

解答： （1）證明：∵a_n＞0，

an

-

an+1

=2

an•an+1

（n∈N^*），∴

1

an+1

-

1

an

=2．
∵b_n=

1

an

（n∈N^*），∴b_n+1-b_n=2，b₁=1．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
b_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）解：由（1）可得：a_n=

1

b 2 n

=

1

(2n-1)2

．
∴

1

an•bn

=2n-1．
T_n=

1

an+1•bn+1

+

1

an+2•bn+2

+…+

1

a2n•b2n

=（2n+1）+（2n+3）+…+（4n-1）=

n(2n+1+4n-1)

2

=3n²．
∴當(dāng)n=1時(shí)，c₁=T₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=T_n-T_n-1=3n²-3（n-1）²=3（2n-1）=6n-3．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
∴c_n=6n-3．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．