【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)， .

（1）求證： ；

（2）若存在，使，求的取值范圍；

（3）若對任意的恒成立，求的最小值.

【答案】（1）見解析（2）或（3）.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得函數(shù)的最小值，所以.

(2)原問題等價于函數(shù)有零點時的的取值范圍.分類討論：①當(dāng)時， 有零點.②當(dāng)時， 無零點.③當(dāng)時， 有零點.則的取值范圍是或.

(3)原問題即.構(gòu)造函數(shù)，其值域為，且.結(jié)合導(dǎo)函數(shù)可得在上為減函數(shù)，所以，. 記區(qū)間，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合題意討論可得的最小值為.

試題解析：

（1）令，得，且當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得最小值. 因為，所以.

（2）設(shè)，題設(shè)等價于函數(shù)有零點時的的取值范圍.

①當(dāng)時，由，所以有零點.

②當(dāng)時，

若，由，得；

若，由（1）知， ，所以無零點.

③當(dāng)時， ，又存在， ，所以有零點.

綜上， 的取值范圍是或.

（3）由題意， ，因為，所以.

設(shè)，其值域為，

由于，所以.

又，所以在上為減函數(shù)，所以，.

記區(qū)間，則.①

設(shè)函數(shù)，

一方面， ；

另一方面， ，

存在，

所以，使，即，所以.②

由①，②知， ，

從而，即的最小值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出集合.

（1）若，求證：函數(shù)；

（2）由（1）分析可知， 是周期函數(shù)且是奇函數(shù)，于是張三同學(xué)得出兩個命

題：命題甲：集合中的元素都是周期函數(shù).命題乙：集合中的元素都是奇函數(shù). 請對此

給出判斷，如果正確，請證明；如果不正確，請舉反例；

（3）若，數(shù)列滿足： ，且 ，數(shù)列的前項

和為，試問是否存在實數(shù)、，使得任意的，都有成立，若

存在，求出、的取值范圍，若不存在，說明理由.

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(1)求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率；

(2)設(shè)該選手在競賽中回答問題的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列與均值．

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【題目】已知函數(shù).

（I）若曲線存在斜率為-1的切線，求實數(shù)a的取值范圍；

（II）求的單調(diào)區(qū)間；

（III）設(shè)函數(shù)，求證：當(dāng)時， 在上存在極小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線l： ，曲線C：

(1)當(dāng)m＝3時，判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；

(2)若曲線C上存在到直線l的距離等于的點，求實數(shù)m的范圍.

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【題目】已知點A(－2,0)，B(2，0)，曲線C上的動點P滿足.

(1)求曲線C的方程；

(2)若過定點M(0，－2)的直線l與曲線C有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍；

(3)若動點Q(x，y)在曲線C上，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

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(Ⅱ)當(dāng)時， 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面 平面， ， ， ．

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(2)若關(guān)于x的方程f2(x)ex－6mf(x)＋9me－x＝0在區(qū)間[1，＋∞)有唯一的實根，求m的取值范圍.

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