Question

已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，M、N分別是AB、PC的中點．
求證：（1）MN∥平面PAD；
（2）MN⊥CD；
（3）當∠PDA=45°，求證：MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）證明取PD的中點Q，連接NQ，證明NQ∥MA，NQ=MA，從而四邊形MNQA為平行四邊形，MN∥PQ，再根據直線和平面平行的判定定理證得 MN∥平面PAD．
（2）先證明PA⊥CD，CD⊥AD從而證明CD⊥平面PAD．根據AQ在平面PAD內，可得CD⊥AQ，從而CD⊥MN．
（3）證明：當∠PDA=45°時，△PAD為等腰直角三角形，得到AQ⊥PD，再由CD⊥AQ，可得AQ⊥平面PCD，從而得到 MN⊥平面PCD．

解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，M、N分別是AB、PC的中點，再取PD的中點Q，連接NQ，
則有NQ∥

1

2

CD，且NQ=

1

2

CD．同理可得 MA∥

1

2

CD，且 MA=

1

2

CD．
∴NQ∥MA，NQ=MA．  故四邊形MNQA為平行四邊形，∴MN∥PQ．
而AQ在平面PAD內，MN不在平面PAD內，∴MN∥平面PAD．
（2）證明：再由PA⊥平面ABCD可得，PA⊥CD，再由四邊形ABCD為矩形，可得CD⊥AD．
這樣，CD垂直于平面PAD內的兩條相交直線，故CD⊥平面PAD． 而AQ在平面PAD內，∴CD⊥AQ，∴CD⊥MN．
（3）證明：當∠PDA=45°時，△PAD為等腰直角三角形，∴AQ⊥PD．
再由CD⊥AQ，可得AQ⊥平面PCD，∴MN⊥平面PCD．

點評：本題考查證明線面平行、線線垂直、線面垂直的方法，直線和平面平行的判定、直線和平面垂直的判定，屬于中檔題．