Question

已知函數(shù)f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

為偶函數(shù)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性，并證明你的判斷．
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x∈[

1

m

，

1

n

]（m＞0，n＞0）時，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2-λm，2-λn]，若存在，求出λ的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）的單調(diào)性．
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將條件關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的取值范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

=

x2+(a+1)x+a

x2

為偶函數(shù)，
∴f（-x）=

x2-(a+1)x+a

x2

=

x2+(a+1)x+a

x2

，
即-（a+1）=a+1，
解得a=-1．
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，f（x）=

x2-1

x2

=1-

1

x2

，
則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，在（-∞，0）為減函數(shù)．
證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

1

x22

-

1

x12

=

x12-x22

x12x22

=

(x1-x2)(x1+x2)

x12x22

．
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
同理可證在（-∞，0）為減函數(shù)．
（Ⅲ）∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
∴若存在實(shí)數(shù)λ，使得當(dāng)x∈[

1

m

，

1

n

]（m＞0，n＞0）時，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2-λm，2-λn]，
則滿足

f( 1 m )=1-m2=2-λm f( 1 n )=1-n2=2-λn

，
即

m2-λm+1=0 n2-λn+1=0

，
即m，n是方程x²-λx+1=0的兩個不等的正根．
則滿足

△=λ2-4＞0 m+n=λ＞0 mn=1＞0

，
即

λ＞2或λ＜-2 λ＞0

，解得λ＞2，
故存在λ＞2，使得結(jié)論成立．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用以及一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．