Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-mlnx+（m-1）x，其中m∈R．
（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)m≤0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）求證：當(dāng)m=-1時(shí)，對任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

Answer 1

分析：（I）將m=2代入，我們易求出其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的解析式，進(jìn)而易判斷基單調(diào)性，結(jié)合其定義域和單調(diào)性，易得到函數(shù)f（x）的最小值．
（II）由f'（x）=

(x-1)(x+m)

x

，結(jié)合m≤0，我們可以分-1＜m≤0與m≤-1兩種情況進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)法，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（III）當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=

1

2

x2+lnx-2x．要證明

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1，即證明f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂，即證f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂，故我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）+x，通過討論輔助函數(shù)g（x）=f（x）+x的單調(diào)性證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）顯然函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)m=2時(shí)，f'（x）=

x2+x-2

x

．
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
∴f（x）在x=1時(shí)取得最小值，其最小值為f（1）=

3

2

．（4分）

（Ⅱ）∵f'（x）=x-

m

x

+（m-1）=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

，
∴（1）當(dāng)-1＜m≤0時(shí)，若x∈（0，-m）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（-m，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（2）當(dāng)m≤-1時(shí)，x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈（1，-m）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈（-m，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．（9分）

（Ⅲ）當(dāng)m=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=

1

2

x2+lnx-2x．
構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）+x，并求導(dǎo)得
g'（x）=x+

1

x

-1=

x2-x+1

x

=

(x- 1 2 )2+ 3 4

x

．
∴g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
∴對任意0＜x₁＜x₂，都有g(shù)（x₁）＜g（x₂）成立，
即f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．
即f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．
又∵x₁-x₂＜0，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性是我們證明函數(shù)單調(diào)性最常的辦法，而利用單調(diào)性解不等式又是解不等式重要思路．