Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2

2

，離心率為

3

3

（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓左焦點(diǎn)F的直線與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AB長(zhǎng)為

8 3

5

，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意有：

2b=2 2 a2=b2+c2 e= c a = 3 3

，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1）代入橢圓方程，得：（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式能求出直線的方程．

解答： 解：（1）由題意有：

2b=2 2 a2=b2+c2 e= c a = 3 3

，
解得a=

3

，b=

2

，c=1，
所以橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）左焦點(diǎn)F（-1，0），
當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，|AB|=

4

3

，不符合題意，故舍掉；
當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+1）代入橢圓方程，
得：（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
顯然有△＞0，設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
x1+x2=

-6k2

2+3k2

，x1x2=

3k2-6

2+3k2

，
所以|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 (1+k2)

2+3k2

．
由|AB|=

8 3

5

，得：k²=1，所以直線的方程為y=±（x+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．