Question

（2011•新疆模擬）在平面幾何里，已知Rt_△SAB的兩邊SA，SB互相垂直，且SA=a，SB=b，則AB邊上的高h=

ab

a2+b2

；現(xiàn)在把結(jié)論類比到空間：三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA，SB，SC兩兩相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA=a，SB=b，SC=c，則點(diǎn)S到平面ABC的距離h'=

abc

a2b2+b2c2+c2a2

．

Answer 1

分析：設(shè)S到平面ABC的距離為h，過(guò)點(diǎn)S向底面ABC引垂線，垂足為O，連CO并延長(zhǎng)交AB于M，連接SM，則SM⊥AB，CM⊥AB，在直角三角形SAB中可求得AB=

a2+b2

，SM=

ab

a2+b2

，同理在直角三角形CSM中可求得|CM|=

c2+ a2b2 a2+b2

，于是S_△ABC=

1

2

•|AB|•|CM|=

1

2

•

a2+b2

•

c2+ a2b2 a2+b2

=

1

2

•

a2b2+a2c2 +b2c2

，由V_S-ABC=V_C-ABS，即可求得S到平面ABC的距離為h′．

解答：解：把結(jié)論類比到空間：三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA，SB，SC兩兩相互垂直，SH⊥平面ABC，且SA=a，SB=b，SC=c，則點(diǎn)S到平面ABC的距離h'=

abc

a2b2+b2c2+c2a2

．
證明：設(shè)S到平面ABC的距離為h′，過(guò)點(diǎn)S向底面ABC引垂線，垂足為O，連CO并延長(zhǎng)交AB于M，連接SM，則SM⊥AB，CM⊥AB，
在直角三角形SAB中，由勾股定理得|AB|=

a2+b2

，又ab=|AB|•|SM|
∴|SM|=

ab

a2+b2

，
∵SA，SB，SC兩兩相互垂直，故SC⊥平面SAB，SM?平面SAB，
∴SC⊥SM，
∵在直角三角形CSM中，|CM|=

c2+ a2b2 a2+b2

，
∴是S_△ABC=

1

2

•|AB|•|CM|=

1

2

•

a2+b2

•

c2+ a2b2 a2+b2

=

1

2

•

a2b2+a2c2 +b2c2

，
由V_S-ABC=V_C-ABS可得：

1

3

•

1

2

abc=

1

3

S_△ABC•h′=

1

3

•

1

2

•

a2b2+a2c2 +b2c2

•h′，
∴h′=

abc

a2b2+b2c2+ c2a2

，
∴S到平面ABC的距離h′=

abc

a2b2+b2c2+ c2a2

．
故答案為：

abc

a2b2+b2c2+c2a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查類比推理，難點(diǎn)在于線面垂直（SC⊥平面SAB）的性質(zhì)（SC⊥SM）的應(yīng)用，著重考查類比推理的思想及等體積輪換公式的應(yīng)用，屬于中檔題．