Question

對于每個正整數(shù)n，拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1與x軸交于兩點A_n、B_n，則|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|的值為   

Answer 1

【答案】分析：A_n、B_n，是拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1與x軸的交點，所以其橫坐標(biāo)為（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，+=，=因為|A_nB_n|=|-|，將其用兩根之和與兩根之積表示出來，化簡即可得出線段|A_nB_n|的表達(dá)式．
解答：解：由已知A_n、B_n的橫坐標(biāo)為（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，+=，=①
因為|A_nB_n|=|-|=②
將①中的數(shù)據(jù)代入②整理得|A_nB_n|=-
故|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|=1-+-+…+-=
故應(yīng)填．
點評：本題主要考查零點與方程根的對應(yīng)關(guān)系及化簡計算的能力，變形的技巧，可以之訓(xùn)練答題者觀察探究的能力與意識．