Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-lnx．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）是否存在a的值，使得方程f（x）=2有兩個不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：由函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-lnx，得到函數(shù)的定義域，
（1）代入a=1可得f′（x），得到f′（1），進(jìn)而可得切線的斜率；
（2）可得導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=ax-

1

x

=

ax2-1

x

，x＞0，分a≤0和a＞0兩類分別求得導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況，進(jìn)而可得單調(diào)性；
（3）結(jié)合（1）與（2）可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值；若使得方程f（x）=2有兩個不等的實(shí)數(shù)根，只要極小值小于2即可，列出不等式，求出a的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f′(x)=x-

1

x

，x＞0∴k=f′（1）=0
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為0；
（2）f′(x)=ax-

1

x

=

ax2-1

x

，x＞0
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＞0時，令f′(x)=0，解得x=

a

a

.當(dāng)x∈(0，

a

a

)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(

a

a

，+∞)時，f′(x)＞0．
∴函數(shù)f(x)在(0，

a

a

)內(nèi)單調(diào)遞減；在(

a

a

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增
（3）存在a∈（0，e³），使得方程f（x）=2有兩個不等的實(shí)數(shù)根．
理由如下：
由（1）可知當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
方程f（x）=2不可能有兩個不等的實(shí)數(shù)根；                                 
由（2）得，函數(shù)f(x)在(0，

a

a

)內(nèi)單調(diào)遞減，在(

a

a

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，
使得方程f（x）=2有兩個不等的實(shí)數(shù)根，等價于函數(shù)f（x）的極小值f(

a

a

)＜2，
即f(

a

a

)=

1

2

+

1

2

lna＜2，解得0＜a＜e³
所以a的取值范圍是（0，e³）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及切線方程的求解，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，以及函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題，屬中檔題．