Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是R，對(duì)于任意的x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）為增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）取x=y=0即可求得f（0）的值；
（2）令y=-x，易得f（x）+f（-x）=0，從而可判斷其奇偶性；
（3）設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后判斷其符號(hào)即可證得f（x）為R上的增函數(shù)；

解答： 解：（1）取x=y=0得，則f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
證明：已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，
取y=-x代入，得f（0）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，于是f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；                        
（3）證明：設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0知，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用賦值法以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．