Question

已知函數(shù)f（x）=2ax³+bx²-6x在x=±1處取得極值
（1）討論f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值；
（2）試求函數(shù)f（x）在x=-2處的切線方程；
（3）試求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最值．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=6ax²+2bx-6，在x=1處取得極值，則f′（1）=6a+2b-6=0； 在x=-1處取得極值，則f′（-1）=6a-2b-6=0； 解得a=1；b=0；所以f（x）=2x³-6x； 由此能導(dǎo)出f（1）是極小值；f（-1）是極大值．
（2）f′（-2）=6×2²-6=18；在x=-2處的切線斜率為18．由此能求出切線方程．
（3）f（x）=2x³-6x；，f′（x）=6x²-6；使f′（x）=6x²-6=0，得x=±1，由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，2]上的最值．

解答：解：（1）f'（x）=6ax²+2bx-6，
在x=1處取得極值，則f′（1）=6a+2b-6=0；
在x=-1處取得極值，則f′（-1）=6a-2b-6=0；
解得a=1；b=0；
∴f（x）=2x³-6x；
f′（x）=6x²-6，
由f′（x）=6x²-6=0，得x=±1．
列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴f（1）是極小值；f（-1）是極大值．
（2）f′（-2）=6×2²-6=18；
在x=-2處的切線斜率為18；
而f（-2）=2x3-6x=-4；
∴切線方程y=18x+32；
（3）f（x）=2x³-6x；
f′（x）=6x²-6；
使f′（x）=6x²-6=0，得x=±1，
已經(jīng)知道了f（1）=-4是極小值，f（-1）=4是極大值，
下面考察區(qū)間端點：
f（2）=2x³-6x=4；
f（-3）=2x3-6x=-36
∴最大值是f（-1）=f（2）=4；
最小值是f（-3）=-36．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在最值中的應(yīng)用，是中檔題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．