Question

（2011•江西模擬）如圖，已知△AOB，∠AOB=

π

2

，∠BAO=θ，AB=4，D為線段AB的中點(diǎn)．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的．記二面角B-AO-C的大小為

π

2

．
（Ⅰ） 當(dāng)平面COD⊥平面AOB時(shí)，求θ的值；
（Ⅱ） 當(dāng)

π

2

∈[

2π

3

，θ]時(shí)，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）建立間直角坐標(biāo)系O-xyz，由

n1 • OD =0 n1 • OC =0

求出平面COD的一個(gè)法向量，又平面AOB的一個(gè)法向量為

n2

=（1，0，0），由平面COD⊥平面AOB得

n1

•

n2

=0，求出θ的值．
（II）由（Ⅰ）得當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，cosα=0；當(dāng)θ∈（

π

2

，

2π

3

]時(shí)，tanθ≤-

3

，利用向量的數(shù)量積公式將cosα用θ的三角函數(shù)表示，據(jù)tanθ≤-

3

，求出cosα的范圍．

解答：解：（Ⅰ） 如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A （0，0，2

3

），B （0，2，0），
D （0，1，

3

），C （2sinθ，2cosθ，0）．
設(shè)

n1

=（x，y，z）為，
由

n1 • OD =0 n1 • OC =0

得

xsinθ+ycosθ=0 y+ 3 z=0

取z=sinθ，
則

n1

=（

3

cosθ，-

3

sinθ，sinθ）．
因?yàn)槠矫鍭OB的一個(gè)法向量為

n2

=（1，0，0），
由平面COD⊥平面AOB得

n1

•

n2

=0，
所以cosθ=0，即θ=

π

2

．　　　　　　　　　…（6分）
（Ⅱ） 設(shè)二面角C-OD-B的大小為α，
由（Ⅰ）得當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，cosα=0；
當(dāng)θ∈（

π

2

，

2π

3

]時(shí)，
tanθ≤-

3

，
cosα=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3 cosθ

3+sin2θ

=-

3

4tan2θ+3

，
故-

5

5

≤cosα＜0．
綜上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍為[-

5

5

，0]．  …（13分）

點(diǎn)評(píng)：解決二面角的大小問題，一般借助的工具是通過建立空間直角坐標(biāo)系，將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量所成的角的問題，通過向量的數(shù)量積來解決．