函數(shù)f（x）對任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且當(dāng)x＞0時，f（x）＞1．
（1）求證：f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）＜3．
分析：（1）先任取x1＜x2，x2-x1＞0．由當(dāng)x＞0時，f（x）＞1．得到f（x2-x1）＞1，再對f（x2）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-1變形得到結(jié)論．
（2）由f（4）=f（2）+f（2）-1求得f（2）=3，再將f（3m2-m-2）＜3轉(zhuǎn)化為f（3m2-m-2）＜f（2），由（1）中的結(jié)論，利用單調(diào)性求解．
解答：解：（1）證明：任取x1＜x2，
∴x2-x1＞0．
∴f（x2-x1）＞1．
∴f（x2）=f[x1+（x2-x1）]
=f（x1）+f（x2-x1）-1＞f（x1），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3．
∴f（3m2-m-2）＜3=f（2）．
又由（1）的結(jié)論知，f（x）是R上的增函數(shù)，
∴3m2-m-2＜2，
3m2-m-4＜0，
∴-1＜m＜
4
3
．
點評：本題主要考查抽象函數(shù)的單調(diào)性證明和利用單調(diào)性定義解抽象不等式，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．
（1）若x∈N*，試求f（x）的解析式；
（2）若x∈N*，且x≥2時，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函，下面四個函數(shù)：
①f（x）=1；②f（x）=x2；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f（x）=
xx2+x+1
．
其中屬于有界泛函的是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函數(shù)，下面四個函數(shù)：①f（x）=1；②f（x）=x2；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f(x)=
x
x2+x+1

其中屬于有界泛函數(shù)的是（　�。�
A、①②B、①③C、③④D、②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）對任意的正實數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＞0，則一定正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，則稱函數(shù)f（x）是區(qū)間D上的“平緩函數(shù)”，
（1）判斷g（x）=sinx和h（x）=x2-x是不是實數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”，并說明理由；
（2）若數(shù)列{xn}對所有的正整數(shù)n都有 |xn+1-xn|≤
1
(2n+1)2
，設(shè)yn=sinxn，求證：|yn+1-y1|＜
1
4
．

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