Question

（2013•臨沂三模）設(shè)△ABC所對的邊分別為a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=-

1

4

．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）求cos（A-C）．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，代入題中數(shù)據(jù)即得邊c的大小；
（II）根據(jù)cosC=-

1

4

，可得C為鈍角且sinC=

1-cos2C

=

15

4

．再由正弦定理，算出sinA=

asinC

c

=

15

8

，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出cosA=

7

8

，最后利用兩角差的余弦公式即可算出的值cos（A-C）．

解答：解：（Ⅰ）∵△ABC中，a=2，b=3，cosC=-

1

4

，
∴根據(jù)余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，…（2分）
得c²=22+32-2×2×3×(-

1

4

)=16，解之得c=4．…（4分）
（Ⅱ）在△ABC中，∵cosC=-

1

4

＜0
∴sinC=

1-cos2C

=

1-(- 1 4 )2

=

15

4

，且C為鈍角．…（6分）
∵根據(jù)正弦定理，得

a

sinA

=

c

sinC

∴sinA=

asinC

c

=

2× 15 4

4

=

15

8

，…（8分）
∴由A為銳角，得cosA=

1-sin2A

=

1-( 15 8 )2

=

7

8

，…（10分）
∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=

7

8

×(-

1

4

)+

15

8

×

15

4

=

1

4

．…（12分）

點(diǎn)評：本題給出三角形中的兩邊及其夾角，求第三邊的長并依此求特殊三角函數(shù)的值．著重考查了利用正余弦定理解三角形、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角差的余弦公式等知識(shí)，屬于中檔題．