Question

已知向量

.

m

=(sinx，2cosx)，

n

=(2cosx，cosx)，f(x)=

m

•

n

-1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若θ為銳角，且f(θ+

π

8

)=

2

3

，求tan2θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、兩角和差的正弦公式、周期公式即可得出．
（2）由f(θ+

π

8

)=

2

3

，可得

2

sin(2θ+

π

2

)=

2

3

．化為cos2θ=

1

3

．再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．

解答： 解：（1）∵向量

.

m

=(sinx，2cosx)，

n

=(2cosx，cosx)，f(x)=

m

•

n

-1．
∴f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1
=sin2x+cos2x
=

2

(

2

2

sin2x+

2

2

cos2x)
=

2

sin(2x+

π

4

)．
∴f（x）的最小正周期=

2π

2

=π．
（2）∵f(θ+

π

8

)=

2

3

，
∴

2

sin(2θ+

π

2

)=

2

3

．
∴cos2θ=

1

3

．
∵θ為銳角，即0＜θ＜

π

2

，
∴0＜2θ＜π．
∴sin2θ=

1-cos22θ

=

2 2

3

．
∴tan2θ=

sin2θ

cos2θ

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、倍角公式、兩角和差的正弦公式、周期公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．