【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,,四邊形BDEF是矩形,平面平面ABCD,,H是CF的中點(diǎn).
(1)求證:平面BDEF;
(2)求直線DH與平面CEF所成角的正弦值;
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)由面面垂直的性質(zhì)可證平面BDEF;
(2)以AC、BD的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),DB方向?yàn)?/span>x軸,AC方向?yàn)?/span>y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出面CEF的法向量,即可求直線DH與平面CEF所成角的正弦值.
(1)證明:四邊形ABCD是菱形,.
又平面平面ABCD,平面平面,
且平面ABCD,
平面BDEF;
(2)以AC、BD的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),DB方向?yàn)?/span>x軸,AC方向?yàn)?/span>y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
,
則,.
設(shè)面CEF的法向量為
則,不妨令,
得到面CEF的法向量為,
因此:
即與面CEF所成的角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)①當(dāng),時(shí),若對(duì)于任意,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的最小值;②當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:的焦點(diǎn)為,直線與拋物線交于,兩點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線過點(diǎn)且,求直線的方程;
(2)已知點(diǎn),若直線不與坐標(biāo)軸垂直,且,證明:直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知F是拋物線C:的焦點(diǎn),過E(﹣l,0)的直線與拋物線分別交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A,B在x軸的上方).
(1)設(shè)直線AF,BF的斜率分別為,,證明:;
(2)若ABF的面積為4,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省確定從2021年開始,高考采用“”的模式,取消文理分科,即“3”包括語文、數(shù)學(xué)、英語,為必考科目:“1”表示從物理、歷史中任選一門;“2”則是從生物、化學(xué)、地理、政治中選擇兩門,共計(jì)六門考試科目.某高中從高一年級(jí)2000名學(xué)生(其中女生900人)中,采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)已知抽取的名學(xué)生中含男生110人,求的值及抽取到的女生人數(shù);
(2)學(xué)校計(jì)劃在高二上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“歷史”兩個(gè)科目,為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況,對(duì)在(1)的條件下抽取到的名學(xué)生講行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目).下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表,請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
性別 | 選擇物理 | 選擇歷史 | 總計(jì) |
男生 | 50 | ||
女生 | 30 | ||
總計(jì) |
(3)在(2)的條件下,從抽取的選擇“物理”的學(xué)生中按分層抽樣抽取6人,再?gòu)倪@6名學(xué)生中抽取2人,對(duì)“物理”的選課意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率.
參考公式:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn),是雙曲線的焦點(diǎn),M是的平分線上一點(diǎn),且,某同學(xué)用以下方法研究:延長(zhǎng)交于點(diǎn)N,可知為等腰三角形,且M為的中點(diǎn),得,類似地:點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),橢圓的焦點(diǎn),M是的平分線上一點(diǎn),且則的取值范圍是______
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某隧道的剖面圖是由半圓及矩形組成,交通部門擬在隧道頂部安裝通風(fēng)設(shè)備(視作點(diǎn)),為了固定該設(shè)備,計(jì)劃除從隧道最高點(diǎn)處使用鋼管垂直向下吊裝以外,再在兩側(cè)自兩點(diǎn)分別使用鋼管支撐.已知道路寬,設(shè)備要求安裝在半圓內(nèi)部,所使用的鋼管總長(zhǎng)度為.
(1)①設(shè),將表示為關(guān)于的函數(shù);
②設(shè),將表示為關(guān)于的函數(shù);
(2)請(qǐng)選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,說明如何設(shè)計(jì),所用的鋼管材料最。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸)、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi),超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中a的值;
(Ⅱ)設(shè)該市有30萬居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)的值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處切線的方程;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若,證明對(duì)任意,恒成立.
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