Question

【題目】如圖，點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是雙曲線的焦點(diǎn)，M是的平分線上一點(diǎn)，且，某同學(xué)用以下方法研究：延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，可知為等腰三角形，且M為的中點(diǎn)，得，類似地：點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)，M是的平分線上一點(diǎn)，且則的取值范圍是______

Answer 1

【答案】

【解析】

利用M是∠F1PF2平分線上的一點(diǎn)，且F2M⊥MP，判斷OM是三角形F1F2N的中位線，把OM用PF1，PF2表示，再利用橢圓的焦半徑公式，轉(zhuǎn)化為用橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，借助橢圓的范圍即可求出OM的范圍．

如圖，延長(zhǎng)F2M，交PF1與N點(diǎn)，

∵PM是∠F1PF2平分線，且0，

且F2M⊥MP，

∴|PN|＝|PF2|，M為F2N的中點(diǎn)，

連接OM，

∵O為F1F2中點(diǎn)，M為F2N中點(diǎn)，

∴|OM||F1N|||PF1|﹣|PN||||PF1|﹣|PF2||

∵在橢圓1（a＞b＞0）中，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0）

則|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a﹣ex0，

∴||PF1|﹣|PF2||＝|a+ex0﹣a+ex0|＝|2ex0|＝2e|x0||x0|，

即有|OM||x0|，

∵P點(diǎn)在橢圓1（a＞b＞0）上，

∴|x0|∈（0，a]，

又∵當(dāng)|x0|＝a時(shí)，F2M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a），

∴|OM|∈（0，c）=．

故答案為：．