Question

【題目】已知曲線上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是常數(shù)，若過的動(dòng)直線與曲線相交于兩點(diǎn)

（1）說明曲線的形狀，并寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】（1）曲線是橢圓，它的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）存在點(diǎn)滿足題意

【解析】

（1）先設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意列出等式，化簡(jiǎn)整理即可求出結(jié)果；

（2）分情況討論如下：當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易得點(diǎn)必在軸上.；當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易得點(diǎn)的坐標(biāo)只可能是；再證明直線斜率存在且時(shí)均有即可.

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為

點(diǎn)到直線的距離為．依題意可知

則

化簡(jiǎn)得

所以曲線是橢圓，它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知，又因?yàn)?/span>,則

從而點(diǎn)必在軸上.

②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，則，由①可設(shè)，

由得，解得（舍去），或．

則點(diǎn)的坐標(biāo)只可能是．

下面只需證明直線斜率存在且時(shí)均有即可.

設(shè)直線的方程為，代入得.

設(shè)

所以

設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)

因?yàn)橹本�的斜率

同理得直線的斜率

，三點(diǎn)共線.

故.

所以存在點(diǎn)滿足題意．