Question

20．已知函數f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0．若對于區(qū)間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，則實數c的取值范圍是（　�。�

• A． c≥4
• B． c≥3
• C． c≥2
• D． c≥1

Answer 1

分析 求出函數的導數，由題意可得f（1）=-2，f′（1）=0，解方程可得a=1，b=0，進而得到f（x）的解析式，求得導數，求得極值和端點的函數值，得到[-2，2]上的最值，即可得到c的范圍．

解答 解：f（x）的導數為f′（x）=3ax²+2bx-3，
根據題意，得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+b-3=-2}\\{f′（1）=3a+2b-3=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=0}\end{array}\right.$，則f（x）=x³-3x，
令f′（x）=3x²-3=0，解得x=±1，
由f（-1）=2，f（1）=-2，f（-2）=-2，f（2）=2，
當x∈[-2，2]時，f（x）_min=-2，f（x）_max=2，
由|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
可得c≥4，
故選：A．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值和最值，同時考查不等式恒成立思想的運用，屬于中檔題．