Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$
（1）當(dāng)函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線4y-x+1=0垂直時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．
（2）若x≥1時(shí)，f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可求導(dǎo)數(shù)，f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{m}{{x}^{2}}$，從而可以求出f（x）在點(diǎn)x=1處的切線斜率k=f′（1），而根據(jù)切線和直線4y-x+1=0垂直，這樣便知切線斜率為-4，從而有f′（1）=-4，這樣即可求出m的值；
（2）由條件便可得到m≥x-xlnx在x≥1上恒成立，可設(shè)g（x）=x-xlnx，并求得g′（x）=-lnx，從而可說明g′（x）≤0，從而得出g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，從而可求出g（x）在[1，+∞）上的最大值，從而便可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{1}{x}-\frac{m}{{x}^{2}}$；
切線和直線4y-x+1=0垂直；
∴切線斜率為-4；
∴f′（1）=1-m=-4；
∴m=5；
（2）x≥1時(shí)，f（x）≥1恒成立；
∴$lnx+\frac{m}{x}≥1$恒成立；
∴m≥x-xlnx在x≥1上恒成立，設(shè)g（x）=x-xlnx，g′（x）=-lnx；
x≥1；
∴-lnx≤0；
∴g（x）在x≥1上單調(diào)遞減；
∴g（x）在x≥1上的最大值為g（1）=1；
∴m≥1；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)在圖象上某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)和過該點(diǎn)的切線斜率的關(guān)系，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，掌握恒成立問題的解法．