Question

若函數(shù)f（x）=x³-3x在（a，8-a²）上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、（-

  7

  ，1）
• B、[-

  7

  ，1）
• C、[-2，1）
• D、（-2，1）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得f（x）的增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞），減區(qū)間是（-1，1），x=1時，f（x）_min=-2．由此利用函數(shù)性質(zhì)能求出-2＜a＜1．

解答： 解：∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0，得x=±1，
x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0；
x∈（-1，1）時，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞），減區(qū)間是（-1，1），
∴x=1時，f（x）_min=-2．
f（x）=x³-3x=-2時，
x³-3x+2=0，x³-x-2x+2=0，
x（x²-1）-2x+2=0，
x（x+1）（x-1）-2（x-1）=0，
（x²+x）（x-1）-2（x-1）=0，
（x-1）（x²+x-2）=0，
（x-1）（x+2）（x-1）=0，
（x-1）²（x+2）=0，
x=1，x=-2，
∴-2＜a＜1＜8-a²
∴-2＜a＜1．
故選：C．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．