【題目】已知函數(shù)f(x)=elnx,g(x)=f(x)-(x+1).(e=2.718……)
(1)求函數(shù)g(x)的極大值;
(2)求證:1+++…+>ln(n+1)(n∈N*).
【答案】見解析
【解析】
解 (1)
∵g(x)=f(x)-(x+1)=lnx-(x+1),
∴g′(x)=-1(x>0).
令g′(x)>0,解得0<x<1;
令g′(x)<0,解得x>1.
∴函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴g(x)極大值=g(1)=-2.
(2)證明 由(1)知x=1是函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),
∴g(x)≤g(1)=-2,即lnx-(x+1)≤-2lnx≤x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立),
令t=x-1,得t≥ln(t+1),t>-1,
取t= (n∈N*)時,
則>ln=ln,
∴1>ln2,>ln,>ln,…,>ln,
疊加得1+++…+>ln(2···…·)=ln(n+1).
即1+++…+>ln(n+1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠今年擬舉行促銷活動,經(jīng)調(diào)查測算,該廠產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x(萬件)與年促銷費(fèi)m(萬元)(m≥0)滿足x=3-.已知今年生產(chǎn)的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將今年該產(chǎn)品的利潤y(萬元)表示為年促銷費(fèi)m(萬元)的函數(shù);
(2)求今年該產(chǎn)品利潤的最大值,此時促銷費(fèi)為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4,且位于x軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M.
(1)求拋物線的方程;
(2)以M為圓心,MB為半徑作圓M,當(dāng)K(m,0)是x軸上一動點(diǎn)時,討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面幾種推理是合情推理的是
①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì);②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°,歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°;③教室內(nèi)有一把椅子壞了,則該教室內(nèi)的所有椅子都壞了;④三角形內(nèi)角和是180°,四邊形內(nèi)角和是360°,五邊形內(nèi)角和是540°,由此得出凸多邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180°___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù),若對任意的,總存在唯一的(為自然對數(shù)的底數(shù))使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)在上的最小值;
(2)對一切,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)探討函數(shù)是否存在零點(diǎn)?若存在,求出函數(shù)的零點(diǎn);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐的底面是正方形,側(cè)棱底面, , 是的中點(diǎn).
(1)求二面角的平面角的余弦值;
(2)在被上是否存在點(diǎn),使平面?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)如今,“網(wǎng)購”一詞不再新鮮,越來越多的人已經(jīng)接受并喜歡了這種購物方式,但隨之也出現(xiàn)了商品質(zhì)量不能保證與信譽(yù)不好等問題,因此,相關(guān)管理部門制定了針對商品質(zhì)量與服務(wù)的評價體系,現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出成功交易200例,并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計:對商品的好評率為0.6,對服務(wù)的好評率為0.75,其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為80次.
(1)依據(jù)題中的數(shù)據(jù)完成下表:
(2)通過計算說明,能否有99.9%的把握認(rèn)為“商品好評與服務(wù)好評”有關(guān);
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