【題目】已知函數(shù)f(x)＝elnx，g(x)＝f(x)－(x＋1)．(e＝2.718……)

(1)求函數(shù)g(x)的極大值；

(2)求證：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)(n∈N*)．

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

解 (1)

∵g(x)＝f(x)－(x＋1)＝lnx－(x＋1)，

∴g′(x)＝－1(x>0)．

令g′(x)>0，解得0<x<1；

令g′(x)<0，解得x>1.

∴函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，

∴g(x)極大值＝g(1)＝－2.

(2)證明 由(1)知x＝1是函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，

∴g(x)≤g(1)＝－2，即lnx－(x＋1)≤－2lnx≤x－1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立)，

令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)，t>－1，

取t＝ (n∈N*)時(shí)，

則>ln＝ln，

∴1>ln2，>ln，>ln，…，>ln，

疊加得1＋＋＋…＋>ln(2···…·)＝ln(n＋1)．

即1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某廠今年擬舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該廠產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x（萬(wàn)件）與年促銷費(fèi)m(萬(wàn)元)(m≥0)滿足x＝3－.已知今年生產(chǎn)的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．

（1）將今年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為年促銷費(fèi)m(萬(wàn)元)的函數(shù)；

（2）求今年該產(chǎn)品利潤(rùn)的最大值，此時(shí)促銷費(fèi)為多少萬(wàn)元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.

(1)求拋物線的方程；

(2)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下面幾種推理是合情推理的是

①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì);②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°;③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則該教室內(nèi)的所有椅子都?jí)牧?④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸多邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°___________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，棱形與正三角形的邊長(zhǎng)均為2，它們所在平面互相垂直， ，且．

（1）求證： ；

（2）若，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)在處取得極值．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在唯一的（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在上的最小值；

（2）對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）探討函數(shù)是否存在零點(diǎn)？若存在，求出函數(shù)的零點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面， ， 是的中點(diǎn).

（1）求二面角的平面角的余弦值；

（2）在被上是否存在點(diǎn)，使平面？證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】現(xiàn)如今，“網(wǎng)購(gòu)”一詞不再新鮮，越來(lái)越多的人已經(jīng)接受并喜歡了這種購(gòu)物方式，但隨之也出現(xiàn)了商品質(zhì)量不能保證與信譽(yù)不好等問(wèn)題，因此，相關(guān)管理部門制定了針對(duì)商品質(zhì)量與服務(wù)的評(píng)價(jià)體系，現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出成功交易200例，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：對(duì)商品的好評(píng)率為0.6，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次.

（1）依據(jù)題中的數(shù)據(jù)完成下表：

（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，能否有99.9%的把握認(rèn)為“商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)”有關(guān)；

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