Question

15．設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知$\frac{1}{3}$S₃•$\frac{1}{4}$S₄=（$\frac{1}{5}$S₅）²，$\frac{1}{3}$S₃與$\frac{1}{4}$S₄的等差中項(xiàng)為1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)，建立方程組，即可得到結(jié)論．

解答 解：由已知得$\frac{1}{3}$S₃+$\frac{1}{4}$S₄=2，
∵$\frac{1}{3}$S₃•$\frac{1}{4}$S₄=（$\frac{1}{5}$S₅）²，
∴設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
則${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$，
即$\frac{1}{n}{S}_{n}$=${a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}$d，
即$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+\frac{3}{2}d）=（{a}_{1}+2d）^{2}}\\{2{a}_{1}+\frac{5}{2}d=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=4}\\{d=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=0}\end{array}\right.$，
故${a}_{n}=-\frac{12}{5}n+\frac{32}{5}$或a_n=1．

點(diǎn)評 本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用解方程組法是解決本題的關(guān)鍵．