Question

（本題滿分14分）

    已知函數(shù)，在點(diǎn)（1，f(1))處的切線方程為y+2=0．

    (1) 求函數(shù)f(x）的解析式；

(2) 若對于區(qū)間[一2,2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有，求實(shí)

    數(shù)c的最小值；

   （3) 若過點(diǎn)M(2,m)(m≠2)，可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)    …………1分

    根據(jù)題意，得即解得………3分

     ∴f(x)=x³-3x．    ．  ………………4分

(2)令f'(x)= 3x²-3=O，即3x²-3=O，解得x=±1．

∵f(-1)=2，f(1)=-2，∴當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f(x)_max=2，f(x)_min=-2．

則對于區(qū)間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有

,所以c≥4．

所以c的最小值為4．    …………………8分

(3)∵點(diǎn)M（2，m)(m≠2）不在曲線y=f(x)上，∴設(shè)切點(diǎn)為(x₀，y₀)．則

，∴切線的斜率為

則，即

因?yàn)檫^點(diǎn)M(2，m)（m≠2），可作曲線y=f(x)的三條切線，

所以方程有三個不同的實(shí)數(shù)解．

即函數(shù)g(x)= 2x³-6x²+6+m有三個不同的零點(diǎn)．

則g'(x)=6x²-12x.令g'(x)=0，解得x=O或x=2．

即解得-6<m<2.    ……………………l4分

 

【解析】略