Question

4．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，已知${a_3}=\frac{1}{8}$，且${S_2}+\frac{1}{16}，{S_3}，{S_4}$成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}={a_n}{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵${S_2}+\frac{1}{16}，{S_3}，{S_4}$成等差數(shù)列，
∴$2{S_3}={S_2}+\frac{1}{16}+{S_4}$，即：${a_3}={a_4}+\frac{1}{16}$，
∵${a_3}=\frac{1}{8}$，∴${a_4}=\frac{1}{16}$，
∴$q=\frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{2}$，${a_1}=\frac{a_3}{q^2}=\frac{1}{2}$，
∴${a_n}=\frac{1}{2}×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}={（\frac{1}{2}）^n}$．
（Ⅱ）${b_n}={a_n}{log_{\frac{1}{2}}}{a_n}=n{（\frac{1}{2}）^n}$
∴${T_n}=1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2^2}+3×\frac{1}{2^3}+…+n•\frac{1}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{T_n}=1×\frac{1}{2^2}+2×\frac{1}{2^3}+3×\frac{1}{2^4}+…+n•\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．