Question

9．已知菱形ABCD中，∠DAB=60°，點G是正△PAD的邊AD的中
，平面PAD⊥平面ABCD．
求證：（1）BG⊥平面PAD；
（2）AD⊥PB．

Answer 1

分析 （1）連接BD，根據(jù)條件可知△ABD是正三角形，而G為AD邊的中點，則BG⊥AD，BG?平面ABCD又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD=AD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知BG⊥平面APD；
（2）連接PG，由側(cè)面PAD為正三角形，G為AD邊的中點得到AD⊥PG，再由（1）可知BG⊥AD，PG，BG?平面PBG，PG∩BG=G，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AD⊥平面PBG，而PB?平面PBG，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AD⊥PB．

解答 證明：（1）連接BD，由已知∠DAB=60°，且四邊形ABCD是菱形，
∴△ABD是正三角形，又G為AD邊的中點，
∴BG⊥AD，
∵BG?平面ABCD，又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面APD
（2）連接PG，由側(cè)面PAD為正三角形，G為AD邊的中點，
∴AD⊥PG，
由（1）可知BG⊥AD，PG，BG?平面PBG，PG∩BG=G，
∴AD⊥平面PBG，
又PB?平面PBG，
∴AD⊥PB．

點評 本小題主要考查直線與平面垂直的判定，以及線面垂直的性質(zhì)等有關(guān)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．