Question

16．在某地區(qū)2008年至2014年中，每年的居民人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年     份	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014
年份代號(hào)t	1	2	3	4	5	6	7
人均純收入y	2.7	3.6	3.3	4.6	5.4	5.7	6.2

對(duì)變量t與y進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，得知t與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系．
（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；
（Ⅱ）預(yù)測(cè)該地區(qū)2016年的居民人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-\bar\overline{t}）（{y_i}-\bar\overline{y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-\bar\overline{t}）}^2}}}}$，$\hat a=\bar\overline{y}-\hat b\bar\overline{t}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)利用最小二乘法．寫出線性回歸方程的系數(shù)和a的值，寫出線性回歸方程，注意運(yùn)算過(guò)程中不要出錯(cuò)．
（2）將x2016年的年份代號(hào)t=9代入前面的回歸方程，預(yù)測(cè)該地區(qū)2016年的居民人均純收入．

解答 解：（Ⅰ）由已知表格的數(shù)據(jù)，得$\overline{t}=\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}=4$，…（2分）$\overline{y}=\frac{2.7+3.6+3.3+4.6+5.4+5.7+6.2}{7}=4.5$，…（3分）
$\sum_{i=1}^7{（{t_i}-\bar t）（{y_i}-\bar y）}=（-3）×（-1.8）+（-2）×（-0.9）+（-1）×（-1.2）$+0×0.1+1×0.9+2×1.2+3×1.7=16.8，…（4分）
$\sum_{i=1}^7{{{（{t_i}-\bar t）}^2}}={（-3）^2}+{（-2）^2}+{（-1）^2}+{0^2}+{1^2}+{2^2}+{3^2}=28$，…（5分）
∴$\hat b=\frac{16.8}{28}=0.6$．…（6分）
∴$\hat a=4.5-0.6×4=2.1$．…（7分）
∴y關(guān)于t的線性回歸方程是$\hat y=0.6x+2.1$．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知y關(guān)于t的線性回歸方程是$\hat y=0.6x+2.1$．
將2016年的年份代號(hào)t=9代入前面的回歸方程，得$\hat y=0.6×9+2.1=7.5$．
故預(yù)測(cè)該地區(qū)2016年的居民人均收入為7.5千元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法寫出線性回歸系數(shù)，注意解題的運(yùn)算過(guò)程不要出錯(cuò)．